Cho a3 + b3 + c3 = 3abc và a, b, c > 0. Chứng minh rằng: a = b = c.

a³ + b³ + c³ = 3abc

(a + b + c)(a² + b² + c² – ab – ac – bc) = 0

Vì a + b + c > 0 nên a² + b² + c² – ab – ac – bc = 0

⇔ 2a² + 2b² + 2c² – 2ab – 2ac – 2bc = 0

⇔ (a–b)² + (b–c)² + (c–a)² = 0

Vì (a–b)² + (b–c)² + (c–a)² ≥ 0 với mọi a, b, c nên để đẳng thức xảy ra thì:

a−b=0b−c=0c−a=0hay a=bb=cc=a

Vậy a = b = c.