Cho a2 + b2 + c2 = ab + bc + ca. Chứng minh a = b = c
Giải thích
Lời giải
Ta có: a2 + b2 +c2 = ab + bc + ca
Û 2(a2 + b2 +c2) = 2(ab + bc + ca)
Û 2a2 + 2b2 + 2c2 = 2ab + 2bc + 2ca
Û (a2 − 2ab + b2)+ (b2 − 2bc +c2) + (c2 − 2ca + a2) = 0
Û (a − b)2 + (b − c)2 + (c − a)2 = 0
Mà (a − b)2 ≥ 0; (b − c)2 ≥ 0; (c − a)2 ≥ 0 nên suy ra
\(\left\{ \begin{array}{l}{\left( {a - b} \right)^2} = 0\\{\left( {b - c} \right)^2} = 0\\{\left( {c - a} \right)^2} = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = b\\b = c\\c = a\end{array} \right. \Leftrightarrow a = b = c\) (đpcm)