Cho A(‒1; 3; 2), B(4; 0; ‒3), C(5; ‒1; ‒4). Tìm tọa độ điểm đối xứng của A qua đường thẳng BC.

Lời giải:

Vectơ chỉ phương của đường thẳng BC là: \[\overrightarrow {BC}  = \left( {1; - 1; - 1} \right).\]

Phương trình tham số của đường thẳng BC đi qua B(4; 0; ‒3) và có vectơ chỉ phương \[\overrightarrow u  = \left( {1; - 1; - 1} \right)\] là: \[\left\{ \begin{array}{l}x = 4 + t\\y =  - t\\z =  - 3 - t\end{array} \right.\]

Gọi H là hình chiếu của A lên BC. Khi đó \[\overrightarrow {AH}  \bot \overrightarrow {BC} \].

Ta có H(4 + t; ‒t; ‒3 ‒ t) nên \(\overrightarrow {AH}  = \left( {t + 5;\,\, - t - 3;\,\, - t - 5} \right).\)

Do đó \[\overrightarrow {AH}  \bot \overrightarrow {BC} \] khi và chỉ khi 1.(t + 5) – 1.(‒t – 3) – 1.(‒t – 5) = 0

Suy ra t + 5 + t + 3 + t + 5 = 0

Hay 3t = ‒13 nên \(t =  - \frac{{13}}{3}.\)

Khi đó, \(H\left( { - \frac{1}{3};\,\,\frac{{13}}{3};\,\,\frac{4}{3}} \right)\).

Mà H là trung điểm của AA’ với A’ đối xứng với A qua BC.

Suy ra \(A'\left( {\frac{1}{3};\,\,\frac{{17}}{3};\,\,\frac{2}{3}} \right).\)