Cho a và b là hai số nguyên tố cùng nhau. Chứng minh rằng 5a + 2b và 7a + 3b cũng là hai số nguyên tố cùng nhau

Gọi ƯCLN\(\left( {5a + 2b,\,\,7a + 3b} \right) = d\,\,\left( {d \in {\mathbb{N}^*}} \right),\) suy ra \(\left( {5a + 2b} \right)\,\, \vdots \,\,d\) và \(\left( {7a + 3b} \right)\,\, \vdots \,\,d\).

⦁ Từ \(\left( {5a + 2b} \right)\,\, \vdots \,\,d\) ta có \(3\left( {5a + 2b} \right)\,\, \vdots \,\,d\) hay \(\left( {15a + 6b} \right)\,\, \vdots \,\,d\)

Từ \(\left( {7a + 3b} \right)\,\, \vdots \,\,d\) ta có \(2\left( {7a + 3b} \right)\,\, \vdots \,\,d\) hay \(\left( {14a + 6b} \right)\,\, \vdots \,\,d\)

Do đó \(\left[ {\left( {15a + 6b} \right) - \left( {14a + 6b} \right)} \right]\,\, \vdots \,\,d\) hay \(a\,\, \vdots \,\,d\) (1).

⦁ Từ \(\left( {5a + 2b} \right)\,\, \vdots \,\,d\) ta có \(7\left( {5a + 2b} \right)\,\, \vdots \,\,d\) hay \(\left( {35a + 14b} \right)\,\, \vdots \,\,d\)

Từ \(\left( {7a + 3b} \right)\,\, \vdots \,\,d\) ta có \(5\left( {7a + 3b} \right)\,\, \vdots \,\,d\) hay \(\left( {35a + 15b} \right)\,\, \vdots \,\,d\)

Do đó \(\left[ {\left( {35a + 15b} \right) - \left( {35a + 14b} \right)} \right]\,\, \vdots \,\,d\) hay \(b\,\, \vdots \,\,d\) (2).

⦁ Từ (1) và (2) suy ra \(d = \)ƯC\(\left( {a,\,\,b} \right)\).

Mà \(a\) và \(b\) là hai số nguyên tố cùng nhau nên ƯCLN\(\left( {a,\,\,b} \right) = 1.\) Do đó \(d = 1.\)

Vậy \(5a + 2b\) và \(7a + 3b\) là hai số nguyên số cùng nhau.