Cho a ∈ R sao cho giới hạn lim a n^ 2 + a ^2 n + 1 ( n + 1 ) ^2 = a^ 2 − a + 1 .Khi đó khẳng định nào sau đây là đúng?

10/22

Cho \(a \in \mathbb{R}\) sao cho giới hạn \(\lim \frac{{a{n^2} + {a^2}n + 1}}{{{{\left( {n + 1} \right)}^2}}} = {a^2} - a + 1\).Khi đó khẳng định nào sau đây là đúng?

\(0 < a < 2\).

\(0 < a < \frac{1}{2}\).

\( - 1 < a < 0\).

\(1 < a < 3\).

Giải thích

Chọn A

Ta có \(\lim \frac{{a{n^2} + {a^2}n + 1}}{{{{\left( {n + 1} \right)}^2}}} = \lim \frac{{a{n^2} + {a^2}n + 1}}{{{n^2} + 2n + 1}} = \lim \frac{{a + \frac{{{a^2}}}{n} + \frac{1}{{{n^2}}}}}{{1 + \frac{2}{n} + \frac{1}{{{n^2}}}}} = a\).

\({a^2} - a + 1 = a\)\( \Rightarrow {a^2} - 2a + 1 = 0\)\( \Rightarrow a = 1\).