Cho a, b, x > 0; a, b và b, x khác 1 thỏa mã logx (a_2b)/3 = logx (căn a) + 1/ logb x^2

9/150

Cho \(a,\,\,b,\,\,x > 0\,;\,\,a > b\) và \(b,\,\,x \ne 1\) thỏa mãn \({\log _x}\frac{{a + 2b}}{3} = {\log _x}\sqrt a + \frac{1}{{{{\log }_b}{x^2}}}.\) Khi đó biểu thức \(P = \frac{{2{a^2} + 3ab + {b^2}}}{{{{\left( {a + 2b} \right)}^2}}}\) có giá trị bằng

\(P = \frac{5}{4}.\)

\(P = \frac{2}{3}.\)

\(P = \frac{{16}}{{15}}.\)

\(P = \frac{4}{5}.\)

Giải thích

Ta có \({\log _x}\frac{{a + 2b}}{3} = {\log _x}\sqrt a + \frac{1}{{{{\log }_b}{x^2}}} \Leftrightarrow {\log _x}\frac{{a + 2b}}{3} = {\log _x}\sqrt a + {\log _x}\sqrt b \)

\( \Leftrightarrow a + 2b = 3\sqrt {ab} \Leftrightarrow {a^2} - 5ab + 4{b^2} = 0\)\( \Leftrightarrow \left( {a - b} \right)\left( {a - 4b} \right) = 0 \Leftrightarrow a = 4b.\)

Do đó \(P = \frac{{2{a^2} + 3ab + {b^2}}}{{{{\left( {a + 2b} \right)}^2}}} = \frac{{32{b^2} + 12{b^2} + {b^2}}}{{36{b^2}}} = \frac{5}{4}\). Chọn A.