Cho a, b là hai số thực tuỳ ý. Chứng minh: (a^2 + 1)

Xét hiệu: 

(a2 + 1)(b2 + 1) ‒ 4ab

= a2b2 + a2 + b2 + 1 ‒ 4ab

= (a2b2 ‒ 2ab + 1) + (a2 ‒2ab + b2)

= (ab ‒ 1)2 + (a ‒ b)2.

Với hai số thực a, b tùy ý, ta có: (ab ‒ 1)2 ≥ 0 và (a ‒ b)2 ≥ 0.

Suy ra: (ab ‒ 1)2 + (a ‒ b)2 ≥ 0 hay (a2 + 1)(b2 + 1) ‒ 4ab ≥ 0.

Vậy (a2 + 1)(b2 + 1) ≥ 4ab.