Cho a, b là hai số nguyên thỏa mãn 2a-5b=-8

82/100

Cho a, b là hai số nguyên thỏa mãn \(2a - 5b = - 8\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sqrt[3]{{ax + 1}} - \sqrt {1 - bx} }}{x} = 4\). Mệnh đề nào dưới đây sai?

\(|a| \le 5\).

\(a - b > 1\).

\({a^2} + {b^2} > 50\).

\(a + b > 9\).

Giải thích

Lời giải

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sqrt[3]{{ax + 1}} - \sqrt {1 - bx} }}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sqrt[3]{{ax + 1}} - 1 + 1 - \sqrt {1 - bx} }}{x}\)

\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( {\frac{{\sqrt[3]{{ax + 1}} - 1}}{x} + \frac{{1 - \sqrt {1 - bx} }}{x}} \right)\)

\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( {\frac{{ax + 1 - 1}}{{x\left[ {{{(\sqrt[3]{{ax + 1}})}^2} + \sqrt[3]{{ax + 1}} + 1} \right]}} + \frac{{1 - (1 - bx)}}{{x(1 + \sqrt {1 - bx} )}}} \right)\)

\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( {\frac{a}{{{{(\sqrt[3]{{ax + 1}})}^2} + \sqrt[3]{{ax + 1}} + 1}} + \frac{b}{{1 + \sqrt {1 - bx} }}} \right) = \frac{a}{3} + \frac{b}{2}\)

Theo giả thiết \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sqrt[3]{{ax + 1}} - \sqrt {1 - bx} }}{x} = 4 \Rightarrow \frac{a}{3} + \frac{b}{2} = 4 \Leftrightarrow 2a + 3b = 24\)

Ta có hệ \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2a - 5b = - 8}\\{2a + 3b = 24}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a = 6}\\{b = 4}\end{array}} \right.} \right.\) nên \(|a| \le 5\) là sai.