Cho Δ A B C vuông tại A , ˆ B A C = 90 ∘ ( A B ≤ A C ) . Đường tròn ( I ) nội tiếp tam giác A B C tiếp xúc với B C tại D . Kết quả nào sau đây là đúng?

13/15

III. Vận dụng

Cho \[\Delta ABC\] vuông tại \[A\], \(\widehat {BAC} = 90^\circ \,\,\left( {AB{\rm{ }} \le {\rm{ }}AC} \right)\). Đường tròn \[\left( I \right)\] nội tiếp tam giác \[ABC\] tiếp xúc với \[BC\] tại \[D\]. Kết quả nào sau đây là đúng?

\(BD = \frac{{BC + AB - AC}}{2}\).

\(BC = \frac{{BD + AB - AC}}{2}\).

\(BD = \frac{{BC + AB + AC}}{2}\).

\(BD = \frac{{BC - AB + AC}}{2}\).

Giải thích

Đáp án đúng là: A

Cho Δ A B C vuông tại A , ˆ B A C = 90 ∘ ( A B ≤ A C ) . Đường tròn ( I ) nội tiếp tam giác A B C tiếp xúc với B C tại D . Kết quả nào sau đây là đúng? (ảnh 1)

Gọi \[E,{\rm{ }}F\] là tiếp điểm của đường tròn \[\left( I \right)\] với các cạnh \[AB,{\rm{ }}AC\].

Theo tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau, ta có: \[AE = AF;{\rm{ }}BE = BD;\,\,CD = CF\].

Do đó \[2BD = BD + BE\]\[ = BC--CD + AB--AE\]

\[ = BC + AB--\left( {CD + AE} \right)\]\[ = BC + AB--\left( {CF + AF} \right)\]

\[ = BC + AB--AC\].

Suy ra \[BD = \frac{{BC + AB - AC}}{2}\].