Cho a, b, c là các số tự nhiên thỏa mãn (a – b) là số nguyên tố và 3c^2 = c(a + b) + ab. Chứng minh rằng 8c + 1 là số chính phương.

Lời giải

Ta có:

3c² = c(a + b) + ab

⇔ 2c² = ca + cb + ab + c²

⇔ 2c² = c(a + c) + b(c + a)

⇔ 2c² = (a + c) (b + c)

Gọi d gcd(a + c, b + c)

Do a – b = p ∈ P nên d = 1 hoặc d = p

+) Nếu d = 1

Thì a + c = x², b + c = y² (xy = 2c)

Suy ra p = (x – y)(x + y).p = 2 (vô lý)

p lẻ thì dễ thấy \[{\rm{x}} = \frac{{p + 1}}{2} = \frac{{a - b + 1}}{2}\] và \(y = \frac{{a - b - 1}}{2}\)

Suy ra \(2c = xy = \frac{{\left( {a - b - 1} \right)\left( {a - b + 1} \right)}}{4}\)

Do đó 8c + 1 = (a – b)² là số chính phương

+) Nếu d = p thì a + c = pm², b + c = pn² (2c = pmn)

Suy ra (m – n)(m + n) = 1

Do đó m = 1 và n = 0 (loại)

Vậy 8c + 1 là số chính phương.