Cho a, b, c là các số thực thỏa mãn a2+ b2+ c2= ab + bc + ca, chứng minh rằng a = b = c.

Hướng dẫn giải

a²+ b²+ c²= ab + bc + ca

⇔ 2(a² + b² + c²) = 2ab+ 2bc + 2ca

⇔ 2a² + 2b² + 2c² = 2ab + 2bc + 2ca

⇔ (a² – 2ab + b²) + (b² – 2bc + c²) + (a² – 2ac + c²) =0

⇔ (a – b)² + (b – c)² + (a – c)² = 0

Vì (a – b)² ≥ 0 với ∀ a, b

Vì (b – c)² ≥ 0 với ∀ c, b

Vì (a – c)² ≥ 0 với ∀ a, c

⇒ (a – b)² + (b – c)² + (a – c)² ≥ 0

Để (a – b)² + (b – c)² + (a – c)² = 0

\( \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}a - b = 0\\b - c = 0\\c - a = 0\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = b\\b = c\\c = a\end{array} \right.\)

⇔ a = b = c (đpcm).