Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn điều kiệ

Với \(a\) là số thực dương, ta có \[{a^2} + 1 \ge 2a\] nên \(\frac{b}{{{a^2} + 1}} = b - \frac{{{a^2}b}}{{{a^2} + 1}} \ge b - \frac{{{a^2}b}}{{2a}} = b - \frac{{ab}}{2}.\)

Chứng minh tương tự, ta có: \(\frac{c}{{{b^2} + 1}} \ge c - \frac{{bc}}{2}\) và \(\frac{a}{{{c^2} + 1}} \ge a - \frac{{ac}}{2}.\)

Do đó: \(P \ge \left( {a + b + c} \right) - \frac{1}{2}\left( {ab + bc + ca} \right) + \frac{1}{4}\left( {ab + bc + ca} \right) = 3 - \frac{1}{4}\left( {ab + bc + ca} \right)\)

Lại có \(\left( {ab + bc + ca} \right) \le \frac{{{{\left( {a + b + c} \right)}^2}}}{3} = 3\) nên \(P \ge 3 - \frac{1}{4} \cdot 3 = \frac{9}{4}.\)

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \(a = b = c = 1.\)

Vậy min \(P = \frac{9}{4}\) khi \(a = b = c = 1.\)