Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a + b + c + ab + bc + ac = 6. Chứng minh rằng: a^3 b + b^3 c + c^3 a lớn hơn bằng 3

Đặt P = a3b+b3c+c3a

Có a, b, c là các số thực dương, theo bất đẳng thức AM - GM có:

a3b+ab≥2a2b3c+bc≥2b2c3a+ac≥2c2

Suy ra: P = a3b+b3c+c3a≥2a2+b2+c2−ab+bc+ca

Mà a + b + c + ab + bc + ac = 6

⇒ P ≥ 2(a² + b² + c²) + a + b + c – 6

Có (a – b)² + (b – c)² + (c – a)² ≥ 0

⇒ 2(a² + b² + c²) ≥ 2(ab + bc + ca)

Suy ra: P ≥ 23a+b+c2+a+b+c−6

Có ab + bc + ca ≤ a² + b² + c²

⇒ 3(ab + bc + ca) ≤ (a + b + c)²

Do đó: 6 = a + b + c + ab + bc + ac ≤ a + b + c + 13a+b+c2

⇒ 13a+b+c2 + (a + b + c) – 6 ≥ 0

⇒ a + b + c ≥ 3(a + b + c)² ≥ 9

Suy ra: P ≥ 23.9+3−6=3

Dấu “=” xảy ra khi a = b = c.