Cho a , b , c là các số thực dương thỏa mãn a + b + c = 1 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

Ta có: \[a + b + c = 1\] suy ra \[\left( {a + b + c} \right)c = c\] hay \[c = ac + bc + {c^2}\].

Suy ra \[c + ab = ac + bc + {c^2} = a\left( {c + b} \right) + c\left( {b + c} \right) = \left( {b + c} \right)\left( {c + a} \right)\].

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy với hai số dương \[x,y\] ta luôn có:

\[\sqrt {xy} \le \frac{{x + y}}{2}\]. Dấu “=” xảy ra khi \[x = y\].

Suy ra \[\frac{1}{{\sqrt {c + ab} }} = \frac{1}{{\sqrt {\left( {a + c} \right)\left( {b + c} \right)} }} \le \frac{{\frac{1}{{a + c}} + \frac{1}{{b + c}}}}{2}\]

Suy ra \[\frac{{ab}}{{\sqrt {c + ab} }} \le \frac{{ab}}{2}\left( {\frac{1}{{a + c}} + \frac{1}{{b + c}}} \right)\] (1)

Tương tự, có: \[a + bc = \left( {a + b} \right)\left( {a + c} \right)\]; \[b + ac = \left( {b + c} \right)\left( {b + a} \right)\].

Suy ra \[\frac{{bc}}{{\sqrt {a + bc} }} \le \frac{{bc}}{2}\left( {\frac{1}{{a + b}} + \frac{1}{{a + c}}} \right)\] (2); \[\frac{{ac}}{{\sqrt {b + ac} }} \le \frac{{ac}}{2}\left( {\frac{1}{{c + b}} + \frac{1}{{a + b}}} \right)\] (3).

Cộng (1), (2), (3) theo vế, ta được:

\[A = \frac{{ab}}{{\sqrt {c + ab} }} + \frac{{bc}}{{\sqrt {a + bc} }} + \frac{{ca}}{{\sqrt {b + ca} }} \le \frac{{bc + ca}}{{2\left( {a + b} \right)}} + \frac{{bc + ab}}{{2\left( {a + b} \right)}} + \frac{{ac + ab}}{{2\left( {b + c} \right)}} = \frac{{a + b + c}}{2}\]

Suy ra \[A \le \frac{1}{2}\].

Dấu “=” xảy ra khi \[a = b = c = \frac{1}{3}.\]