Cho a, b, c là các số dương thỏa mãn hệ thức: a + b + c = 6abc. Chứng minh rằng:
Giải thích
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho 2 số dương, ta có:
cab3(a+2c)+a+2c9abc≥2cab3(a+2c).a+2c9abc=23b2
bca3(c+2b)+c+2b9abc≥2bca3(c+2b).c+2b9abc=23a2
abc3(b+2a)+b+2a9abc≥2abc3(b+2a).b+2a9abc=23c2
Þ bca3(c+2b)+cab3(a+2c)+abc3(b+2a)+a+b+c3abc
≥ 231a2+1b2+1c2≥231ab+1bc+1ca = 23.a+bcabc
Vậy bca3(c+2b)+cab3(a+2c)+abc3(b+2a)≥ a+b+c3abc=6abc3abc=2.
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 22.