Cho a, b, c là ba số dương thỏa mãn a + b + c = 3. Chứng minh rằng :

Ta có điểm rơi của bài toán là a = b = c = 1

BDT⇔1a3a+bc+1+1b3b+ca+1+1c3c+ab+1≥2

Áp dụng BDT:1X+1Y+1Z≥9X+Y+Z . Dấu bằng xảy ra khi X=Y=Z , ta có :

1a3a+bc+1+1b3b+ca+1+1c3c+ab+1≥9a3a+bc+b3b+ca+c3c+ab+3

Bây giờ bài toán trở về dạng quen thuộc, khi ta chỉ cần chứng minh

a3a+bc+b3b+ca+c3c+ab≤32

Chú ý rằng 3a+bc=a+b+ca+bc=a2+ab+bc+ca=a+ba+c

⇒a3a+bc=a1a+b.1a+c≤AM−GMa21a+b+1a+c=12aa+b+ac+a

Tương tự : b3b+ca≤12bb+c+ba+b;  c3c+ab≤12cc+a+cb+c

Cộng vế theo vế :

a3a+bc+b3b+ca+c3c+ab≤12a+ba+b+b+cb+c+c+ac+a=32(dfcm)