Cho a, b, c là 3 số dương. Chứng minh: căn(a^3/b^3 căn b^3/c^3 + căn c^3/a^3 lớn hơn bằng a b b c c a

Đặt ab=x;bc=y;ca=z

BĐT cần chứng minh trở thành: x³ + y³ + z³ ≥ x² + y² + z² với xyz = 1

Thật vậy, áp dụng BĐT Côsi:

(x³ + y³ + z³)(x + y + z) ≥ (x² + y² + z²)²

⇔ x³ + y³ + z³ ≥ x2+y2+z22x+y+z1

Theo BĐT AM-GM có:

x² + y² + z² ≥ xy + yz + xz

⇔ 3(x² + y² + z²) ≥ (x + y + z)²

⇔ x² + y² + z² ≥  x+y+z23≥x+y+z.3xyz33=x+y+z (2)

Từ (1) và (2) suy ra: x³ + y³ + z³ ≥ x² + y² + z² (đpcm)

Dấu “=” xảy ra khi x = y = z = 1 hay a = b = c.