Cho a, b, c là 3 cạnh của tam giác ABC thỏa mãn a^3 + b^3 + c^3 = 3abc. Chứng minh rằng: Tam giác ABC là tam giác đều.
Lời giải
Ta có: a3 + b3 + c3 = 3abc
Ûa3+b3+c3 − 3abc=0
Ûa3+ 3a2b + 3ab2 + b3 − (3a2b + 3ab2) +c3 − 3abc=0
Û (a+ b)3+c3 − 3ab(a + b + c) =0
Û (a+ b + c)[(a + b)2 − (a + b).c +c2] − 3ab(a + b + c) =0
Û (a+ b + c)[a2 + b2 + 2ab − ac − bc +c2] − 3ab(a + b + c) =0
Û (a+ b + c)[a2 + b2 + 2ab − ac − bc +c2 − 3ab] =0
Û (a+ b + c)[a2 + b2 +c2 − ab − bc − ca] =0 (*)
Vì a, b, c là ba cạnh của một tam giác nên a + b + c > 0.
Phương trình (*) trở thành:
a2 + b2 +c2 − ab − bc − ca =0
Û 2a2 + 2b2 + 2c2 − 2ab − 2bc − 2ca =0
Û (a2 − 2ab + b2) + (b2 − 2bc + c2) + (c2 − 2ca + a2) =0
Û (a − b)2 + (b − c)2 + (c − a)2 =0
Vì (a − b)2; (b − c)2; (c − a)2 ≥ 0 nên
(a − b)2 + (b − c)2 + (c − a)2 =0
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a - b = 0\\b - c = 0\\c - a = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = b\\b = c\\c = a\end{array} \right. \Leftrightarrow a = b = c\).
Vậy ABC là tam giác đều.