cho a,b,c,d>0. cmr a^4/a^3 2b^3 b^4/b^3 2c^3 c^4/c^3 2d^3 d^4/d^3 2a^3>=a b c d/3

Vì a, b, c > 0 nên a³, b³, c³ > 0.

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 3 số a³, b³, c³, ta được: a3+b3+c3≥3a3.b3.c33.

⇒1a3+b3+c3≤13a3.b3.c33.

⇒−1a3+b3+c3≥−13a3.b3.c33.

Ta có     a4a3+2b3=a−2ab3a3+b3+b3≥a−2ab33a3.b3.b33=a−23b(1)

Chứng minh tương tự, ta được:

⦁   b4b3+2c3≥b−23c (2)

⦁  c4c3+2d3≥c−23d  (3)

⦁  d4d3+2a3≥d−23a   (4)

Lấy (1) + (2) + (3) + (4) vế theo vế, ta được:

a4a3+2b3+b4b3+2c3+c4c3+2d3+d4d3+2a3≥a3+b3+c3+d3=a+b+c+d3.

Vậy ta có điều phải chứng minh.