Cho a, b, c, d thỏa mãn a2 + b2 = 25; c2 + d2 = 16; ac + bd ≥ 20. Tìm max a + d.

Đặt a=5cosαb=5sinα;c=4cosβd=4sinβ0≤α,β≤2π

Từ ac + bd ≥ 20 ta có: 20cosα.cosβ + 20sinα.sinβ ≥ 20

⇔ 20cos(α – β) ≥ 20

Vậy cos(α – β) = 1 ⇔ α – β = k2π (k ∈ ℤ) ⇔ α = β + k2π

Suy ra: cosα=cosβsinα=sinβ

 

Ta có: a + d = 5cosα + 4sinβ = 5cosα + 4sinα ≤ 52+42.cos2α+sin2α=41

Dấu “=” khi: cosα5=sinα45cosα+4sinα=41

Vậy max a + d = 41 khi a=5cosα=2541;d=4sinβ=1641