2xy ‒1 = z(x ‒ 1)(y ‒ 1) = z(xy ‒ x ‒ y + 1)

⇒ 2xy ‒1 = zxy ‒ zx ‒ zy + z

⇒ 2xy = zxy ‒ zx ‒ zy + (z + 1)

⇒ z(x + y) = (z ‒ 2)xy + (z + 1) (*)

Trường hợp 1. z ≤ 2. Mà z ∈ ℕ* nên z = 1 hoặc z = 2

– Nếu z = 1, thay vào (*) ta được:

x + y = ‒xy + 2 ⇒ x + y + xy + 1 = 3 ⇒ (x + 1)(y + 1) = 3

Do x, y ∈ ℕ* nên ta có bảng sau:

⇒ (x; y) ∈{(0; 2); (2; 0)}.

Þ (x; y; z) ∈{(0; 2; 1); (2; 0; 1)}.

–Nếu z = 2 ⇒ 2(x + y) = 3 \( \Rightarrow x + y = \frac{3}{2}\)(loại vì x, y ∈ ℕ*).

Trường hợp 2. z > 2 ⇒ (z ‒ 2)xy > 0

Từ z(x + y) = (z ‒ 2)xy + (z + 1) ⇒ z(x + y) > (z ‒ 2)xy

Giả sử x ≥ y ⇒ 2x ≥ x + y ⇒ 2xz ≥ z(x + y) > (z ‒ 2)xy

⇒ 2z > (z − 2)y ⇒ 2z + 2y > zy

– Nếu z ≥ y ⇒ 4z ≥ 2z + 2y > zy ⇒ 4 > y

Mà y∈ ℕ* nên y ∈ {1, 2, 3}.

• Với y = 1, thay vào (*) ta được z(x + 1) = (z ‒ 2)x + (z + 1)

⇒ zx + z = zx ‒ 2x + z + 1 ⇒ ‒2x + 1 = 0 (vô lý)

• Với y = 2, thay vào (*) ta được z(x + 2) = 2(z ‒ 2)x + (z + 1)

⇒ zx + 2z = 2zx – 4x + z + 1 ⇒ xz – z – 4x + 1 = 0

⇒ z(x ‒ 1) ‒ 4x + 4 = 3 ⇒ z(x ‒ 1) ‒ 4(x – 1) = 3

⇒ (z ‒ 4)(x ‒ 1) = 3

Do x, z ∈ ℕ* nên ta có bảng sau:

⇒ (x; z) ∈{(4; 5); (2; 7)} thỏa mãn điều kiện.

Þ (x; y; z) ∈{(4; 2; 5); (2; 2; 7)}.

• Với y = 3, thay vào (*) ta được z(x + 3) = 3(z ‒ 2)x + (z + 1)

Þ zx + 3z = 3zx – 6x + z + 1 Þ 2zx – 2z – 6x + 1 = 0

Þ 2z(x – 1) – 6(x – 1) = 5 Þ (x – 1)(2z – 6) = 5.

Mà 2z – 6 là số chẵn nên ta loại trường hợp này.

–Nếu z ≤ y Þ4y ≥ 2z + 2y > zy Þ 4 > z.

Kết hợp với z > 2 ta được 2 < z < 4

Mà z∈ ℕ* nênz= 3

Thay z = 3, thay vào (*) ta được3(x + y) = (3 ‒ 2)xy + (3 + 1)

Þ 3(x + y) = xy + 4 Þ 3x + 3y – xy = 4

Þ x(3 – y) – 3(3 – y) = –5 Þ (3 – y)(x – 3) = –5

Þ (x – 3)(y – 3) = 5

Do x, y ∈ ℕ* nên ta có bảng sau:

⇒ (x; y) ∈{(4; 8); (8; 4)} thỏa mãn điều kiện.

Þ (x; y; z) ∈{(4; 8; 3); (4; 8; 3)}.

Vậy các bộ số (x; y; z) thỏa mãn yêu cầu đề bài là:

(x; y; z) ∈{(0; 2; 1); (2; 0; 1); (4; 8; 3); (4; 8; 3)}.

Cho a + b + c + d = 0. Chứng minh rằng: a^3 + b^3 + c^3 + d^3 = 3.(ab - cd)