Cho Δ A B C có 3 góc nhọn ( A B < A C ) nội tiếp đường tròn ( O ; R ) ; vẽ các đường cao B E và C D của Δ A B C ( E thuộc A C ; D thuộc A B ). (a) Chứng minh tứ giác B D E

a) Xét \[\Delta BCD\] vuông tại \[D\] nên \[\Delta BCD\] nội tiếp đường tròn đường kính \[BC\]

Suy ra \[B,\,\,C,\,\,D\] thuộc đường tròn đường kính \[BC\].

Chứng minh tương tự với \[\Delta BCE\] ta có \[B,\,\,C,\,\,E\] thuộc đường tròn đường kính \[BC\].

Như vậy, \[B,\,\,C,\,\,D,\,\,E\] thuộc đường tròn đường kính \[BC\], suy ra tứ giác \(BDEC\) nội tiếp đường tròn có tâm là trung điểm của \[BC\] và bán kính bằng \(\frac{{BC}}{2}.\)

b) Do tứ giác \(BDEC\) nội tiếp nên \(\widehat {DBC} + \widehat {DEC} = 180^\circ \) (tổng hai góc đối tứ giác nội tiếp)

Mà \(\widehat {AED} + \widehat {DEC} = 180^\circ \) (kề bù) nên \(\widehat {DBC} = \widehat {AED}.\)

Xét \[\Delta AED\] và \[\Delta ABC\] có:

\(\widehat A\) là góc chung và \(\widehat {ABC} = \widehat {AED}.\)

Do đó (g.g).

c) Do hay nên \(\frac{{ED}}{{BC}} = \frac{{AD}}{{AC}}\).

Xét \(\Delta ADC\) vuông tại \(D\) có \(\cos \widehat {DAC} = \frac{{AD}}{{AC}}\).

Như vậy, \[\frac{{ED}}{{BC}} = \frac{{AD}}{{AC}} = \cos \widehat {DAC} = \cos 60^\circ = \frac{1}{2}.\]

Vậy \(DE = \frac{1}{2}BC.\)