Cho Δ A B C cân tại A có hai đường trung tuyến B D và C E cắt nhau tại G . Biết B D = C E . Khi đó:

a) Đúng.

Vì hai trung tuyến \(BD\) và \(CE\) cắt nhau tại \(G\) nên \(G\) là trọng tâm \(\Delta ABC\).

b) Đúng.

Vì \(G\) là trọng tâm \(\Delta ABC\) nên \(BG = \frac{2}{3}BD;CG = \frac{2}{3}CE\) (tính chất trọng tâm tam giác)

Mà \(BD = CE\) (giả thiết) nên \(\frac{2}{3}BD = \frac{2}{3}CE\) hay \(BG = CG\).

Suy ra tam giác \(GBC\) là tam giác cân.

c) Đúng.

Ta có: \(BG = \frac{2}{3}BD\) nên \(DG = \frac{1}{3}BD\) do đó \(BG = 2DG\) hay \(DG = \frac{1}{2}BG.\)

Lại có \(CG = \frac{2}{3}CE\) nên \(GE = \frac{1}{3}CE\) do đó \(CG = 2CE\) hay \(CE = \frac{1}{2}CG\).

Mà \(BG = CG\) (cmt) nên \(DG = EG\).

Ta có: \(DG + EG = \frac{1}{2}BG + \frac{1}{2}CG = \frac{1}{2}\left( {BG + CG} \right)\).

d) Sai.

Xét tam giác \(GBC\) có \(BG + CG > BG\) (trong một tam giác tổng độ dài hai cạnh lớn hơn độ dài cạnh còn lại).

Vậy \(DG + EG > \frac{1}{2}BC\) (đpcm).