cho a, b, c > 0 và a.b.c = 1. chứng minh rằng 1/a^2.(b c) 1/b^2.(c a) 1/c^2.(a b)>=3/2

Đặt x=1a;  y=1b;  z=1c, với x, y, z > 0.

Suy ra xyz=1a.1b.1c=1.

Ta có 1a2.b+c=x21y+1z=x2yzy+z=xy+z .

Bất đẳng thức cần chứng minh được viết lại thành: xy+z+yz+x+zx+y≥32.

⇔xy+z+1+yz+x+1+zx+y+1≥92.

⇔x+y+zy+z+y+z+xz+x+z+x+yx+y≥92.

  ⇔x+y+z1y+z+1z+x+1x+y≥92 (*)

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho ba số x, y, z > 0, ta được:

x+y+z1y+z+1z+x+1x+y≥9>92.

Do đó (*) luôn đúng.

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x = y = z ⇔ a = b = c.

Vậy bất đẳng thức đã cho đã được chứng minh.