Cho a, b, c > 0. Chứng minh a^8 + b^8 + c^8/ a^3b^3c^3 lớn hơn hoặc bằng 1/a + 1/b + 1/c .

Ta có: 

⇔ a⁸ + b⁸ + c⁸ ≥ a²b²c²(ab + bc + ca) (*)

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM:

a⁸ + b⁸ ≥ 2a⁴b⁴

b⁸ + c⁸ ≥ 2b⁴c⁴

a⁸ + c⁸ ≥ 2a⁴c⁴

⇒ a⁸ + b⁸ + c⁸ ≥ a⁴b⁴ + b⁴c⁴ + c⁴a⁴

Tiếp tục áp dụng AM-GM:

a⁸ + b⁸ + a⁴b⁴ + c⁸ ≥ 4a12b12c84=4a3b3c2

b⁸ + c⁸ + b⁴c⁴ + a⁸ ≥ 4b³c³a²

 c⁸ + a⁸ + a⁴c⁴ + b⁸ ≥ 4c³a³b²

Cộng lại ta được:

3(a⁸ + b⁸ + c⁸) + (a⁴b⁴ + b⁴c⁴ + a⁴c⁴) ≥ 4a²b²c²(ab + bc + ca)

Mà a⁸ + b⁸ + c⁸ ≥ a⁴b⁴ + b⁴c⁴ + a⁴c⁴

Nên: 4(a⁸ + b⁸ + c⁸) ≥ 4a²b²c²(ab + bc + ca)

Hay a⁸ + b⁸ + c⁸ ≥ a²b²c²(ab + bc + ca)

Suy ra: (*) đúng

Vậy ta có điều phải chứng minh.