Cho a, b > 0 và a + b = 1. Chứng minh rằng 1/a^2 + b^2 lớn hơn bằng 2

Lời giải

Ta có \(\frac{1}{{{a^2} + {b^2}}} + \frac{1}{{2ab}} - \frac{1}{{2ab}}\)

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta được:

\(\frac{1}{{{a^2} + {b^2}}} + \frac{1}{{2ab}} \ge \frac{4}{{{a^2} + {b^2} + 2ab}} = \frac{4}{{{{\left( {a + b} \right)}^2}}} = \frac{4}{{{1^2}}} = 4\)        (1)

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta được: 4ab ≤ (a + b)² = 1² = 1.

\( \Rightarrow \frac{2}{{4ab}} \ge \frac{2}{1}\)\( \Rightarrow \frac{1}{{2ab}} \ge 2\)       (2)

Lấy (1) trừ (2) vế theo vế, ta được: \(\frac{1}{{{a^2} + {b^2}}} + \frac{1}{{2ab}} - \frac{1}{{2ab}} \ge 4 - 2\).

Vậy \(\frac{1}{{{a^2} + {b^2}}} \ge 2\) (điều phải chứng minh).

Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow a = b = \frac{1}{2}\).