Cho a > b > 0. Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi cho elip x ^ 2 / a ^ 2 + y ^ 2 / b ^ 2 = 1 quay xung quanh trục Ox là

4/4

Cho \({\rm{a}} > {\rm{b}} > 0.\) Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi cho elip \(\frac{{{{\rm{x}}^2}}}{{{{\rm{a}}^2}}} + \frac{{{{\rm{y}}^2}}}{{\;{{\rm{b}}^2}}} = 1\) quay xung quanh trục Ox là

\(\frac{4}{3}\pi {{\rm{a}}^2}\;{\rm{b}}.\)

\(\frac{4}{3}\pi {\rm{a}}{{\rm{b}}^2}.\)

\(\frac{1}{3}\pi {{\rm{a}}^2}\;{\rm{b}}.\)

\(\frac{1}{3}\pi {\rm{a}}{{\rm{b}}^2}.\)

Giải thích

\(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1 \Leftrightarrow {y^2} = {b^2}\left( {1 - \frac{{{x^2}}}{{{a^2}}}} \right) \Leftrightarrow y = \pm b\sqrt {1 - \frac{{{x^2}}}{{{a^2}}}} ,x \in [ - a;a].\)

Nhận xét: Elip nhận \({\rm{Ox}},{\rm{Oy}}\) là hai trục đối xứng.

Ta cần tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi cho hình phẳng giới hạn bởi các đường

\(y = b\sqrt {1 - \frac{{{x^2}}}{{{a^2}}}} ,x = - a,x = a\)quay quanh trục Ox.

\(V = \pi \int_{ - a}^a {{{\left( {b\sqrt {1 - \frac{{{x^2}}}{{{a^2}}}} } \right)}^2}} dx = \pi \int_{ - a}^a {{b^2}} \left( {1 - \frac{{{x^2}}}{{{a^2}}}} \right)dx = \left. {\pi {b^2}\left( {x - \frac{{{x^3}}}{{3{a^2}}}} \right)} \right|_{ - a}^a = \frac{{4\pi }}{3}a{b^2}\)

Chọn B.