Cho a, b ≥ 0. Chứng minh rằng bất đẳng thức sau đúng với mọi n thuộc N*

Hướng dẫn giải

Bước 1. Với n = 1, ta có a1+b12=a+b2=(a+b2)1.  Do đó bất đẳng thức đúng với n = 1.

Bước 2. Giả sử bất đẳng thức đúng với n = k ≥ 1, nghĩa là có: ak+bk2≥(a+b2)k. 

Ta cần chứng minh đẳng thức đúng với n = k + 1, nghĩa là cần chứng minh:

ak+1+bk+12≥(a+b2)k+1. 

Ta có:

Vì (ak – bk) và (a – b) cùng dấu nên (ak – bk)(a – b) ≥ 0 với mọi k ≥ 1,

suy ra ak + 1 + bk + 1 ≥ akb + abk

=> (ak + 1 + bk + 1) + (ak + 1 + bk + 1) ≥ (akb + abk) + (ak + 1 + bk + 1) = (a + b)(ak + bk)

=> 2(ak + 1 + bk + 1) ≥ (a + b)(ak + bk)

⇒ak+1+bk+12≥(a+b)2.(ak+bk)2

⇒ak+1+bk+12≥a+b2.ak+bk2≥a+b2.(a+b2)k=(a+b2)k+1. 

Vậy bất đẳng thức đúng với n = k + 1.

Theo nguyên lí quy nạp toán học, bất đẳng thức đúng với mọi số tự nhiên n ≥ 1.