Cho A = 2 + 2^2 + 2^3 + + 2^60. Chứng minh rằng A chia hết

A = (2 + 2²) + (2³ + 2⁴) +…. + (2⁵⁹ + 2⁶⁰)

A = 2(1 + 2) + 2³(1 + 2) + … + 2⁵⁹(1 + 2)

A = 2.3 + 2³.3 + … + 2⁵⁹.3

A = 3.(2 + 2³ + … + 2⁵⁹)

Vì 3 chia hết cho 3 nên 3.(2 + 2³ + … + 2⁵⁹) chia hết cho 3.

Vậy A chia hết cho 3.

* Xét: A = (2 + 2² + 2³ + 2⁴) + (2⁵ + 2⁶ + 2⁷ + 2⁸) +…. + (2⁵⁷ + 2⁵⁸ + 2⁵⁹ + 2⁶⁰)

A = 2(1 + 2 + 2² + 2³) + 2⁵(1 + 2 + 2² + 2³) + … + 2⁵⁷(1 + 2 + 2² + 2³)

A = 2.15 + 2⁵.15 + …. + 2⁵⁷.15

A = 15.(2 + 2⁵ + … + 2⁵⁷)

Vì 15 chia hết cho 5 nên 15.(2 + 2⁵ + … + 2⁵⁷) chia hết cho 5.

Vậy A chia hết cho 5.

* Lại có: A = (2 + 2² + 2³) + (2⁴ + 2⁵ + 2⁶) +…. + (2⁵⁸ + 2⁵⁹ + 2⁶⁰)

A = 2(1 + 2 + 2²) + 2⁴(1 + 2 + 2²) + … + 2⁵⁸(1 + 2 + 2²)

A = 2.7 + 2⁴.7 + … + 2⁵⁸.7

A = 7(2 + 2⁴ + ... + 2⁵⁸)

Vì 7 chia hết cho 3 nên 7.(2 + 2⁴ + … + 2⁵⁸) chia hết cho 7.

Vậy A chia hết cho 7.