Cho 5 số thực không âm a, b, c, d, e có tổng bằng 1. Xếp 5 số này trên một đường tròn. Chứng minh rằng luôn tồn tại một cách xếp sao cho hai số bất kì cạnh nhau có tích không lớn hơn .

Gọi 5 số đó là a; b; c; d; e . ta có a+ b + c + d + e = 1

Không mất tính tổng quát, giả sử  0 < a < b < c < d < e 

Nhận xét: c + d <23  . Vì nếu c + d >  23

Ta có: 2e > c + d > 23⇒ e  > 13 ⇒ e + c + d > 13+ 23  = 1 .

Mâu thuẫn với a + b + c + d + e = 1 và a, b, c, d, e không âm.

Áp dụng bất đẳng thức Cô si ta có:

cd < 14c + d2 ⇒ cd < 19

Mặt khác:

1 = a + b + c + d + e  > a + 3b + e  >  3b + e  > 23be

Suy ra: be≤1232=112<19

Ta có: ae < be <112<19 ; bc < cd < 19; da < dc < 19

Vậy có thể sắp xếp 5 số a, b, c, d, e theo thứ tự như sau: a, e, b, c, d đều thỏa mãn tích 2 số bất kì cạnh nhau không vượt quá 19.