Cho 3 số thực dương x,y,z thoả mãn \(xy + yz + zx = 1\). Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

Áp dụng bất đẳng thức  AM - GM:

 

\(\frac{{2x}}{{\sqrt {1 + {x^2}} }} = \frac{x}{{\sqrt {{x^2} + xy + yz + zx} }} = \frac{{2x}}{{\sqrt {\left( {x + y} \right)\left( {x + z} \right)} }}\) \( \le \) \(\frac{x}{{x + y}} + \frac{x}{{x + z}}\)

                                  \(\frac{y}{{\sqrt {{y^2} + xy + yz + zx} }} = \frac{y}{{\sqrt {\left( {y + x} \right)\left( {y + z} \right)} }}\) \( \le \) \(\frac{1}{4}.\frac{y}{{y + z}} + \frac{x}{{y + x}}\)

                                   \(\frac{z}{{\sqrt {{z^2} + xy + yz + zx} }} = \frac{z}{{\sqrt {\left( {z + x} \right)\left( {z + y} \right)} }}\) \( \le \) \(\frac{1}{4}.\frac{z}{{z + y}} + \frac{x}{{z + x}}\)

                         \(\frac{{2x}}{{\sqrt {1 + {x^2}} }} + \frac{y}{{\sqrt {{y^2} + 1} }} + \frac{z}{{\sqrt {{z^2} + 1} }}\) \( \le \) 1 + 1 + \(\frac{1}{4}\) = \(\frac{9}{4}\)   (1)

 

Và ta có: \({x^2} + 28{y^2} + 28{z^2} = \frac{1}{2}{\left( {x - 7x} \right)^2} + \frac{1}{2}{\left( {x - 7z} \right)^2} + \frac{7}{2}{\left( {y - z} \right)^2} + 7 \ge 7{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} \left( 2 \right)\)

 

Dấu "=" của các bất đẳng thức (1), (2) xảy ra khi \(x = 7y = 7z\)và \(xy + yz + zx = 1\) khi và chỉ khi

\(y = z = \frac{{\sqrt {15} }}{{15}}\);\(x = \frac{{7\sqrt {15} }}{{15}}\)

Từ (1), (2) có \(P < \frac{9}{4} - 7 =  - \frac{{19}}{4}\) suy ra  MaxP = 7  \( \Leftrightarrow y = z = \frac{{\sqrt {15} }}{{15}}\;\); \(x = \frac{{7\sqrt {15} }}{{15}}\)

Vậy MaxP = \(\frac{{ - 19}}{4}\)