Cho 3 số hạng liên tiếp của cấp số nhân biết tổng của chúng là 19 và tích là 216. Hỏi công bội q của cấp số nhân là bao nhiêu

5/10

Cho 3 số hạng liên tiếp của cấp số nhân biết tổng của chúng là 19 và tích là 216. Hỏi công bội q của cấp số nhân là bao nhiêu?

\(\frac{2}{3}\)hoặc\(\,\frac{3}{2}\);

\(\frac{2}{5}\)hoặc \(\frac{5}{2}\);

\(\frac{3}{5}\)hoặc \(\frac{5}{3}\) ;

\(\frac{4}{5}\)hoặc \(\frac{5}{4}\).

Giải thích

Đáp án đúng là: A

Gọi ba số hạng liên tiếp của cấp số nhân là u₁; u₂; u₃ với công bội là q.

Theo đề bài, ta có hệ phương trình:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{u_1} + {u_2} + {u_3} = 19}\\{{u_1} \cdot {u_2} \cdot {u_3} = 216}\end{array}} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{u_1} + {u_1}q + {u_1} \cdot {q^2} = 19}\\{u_2^3 = {6^3}\left( {do\;{u_1} \cdot {u_3} = u_2^2} \right)}\end{array}} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{u_1}\left( {1 + q + {q^2}} \right) = 19}\\{{u_2} = {u_1} \cdot q = 6}\end{array}} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{u_1}\left( {1 + q + {q^2}} \right) = 19 \,\, (*)}\\{{u_1} = \frac{6}{q}}\end{array}} \right.\)

Thay \({u_1} = \frac{6}{q}\) vào (*) được:

\(\frac{6}{q} \cdot \left( {1 + q + {q^2}} \right) = 19 \Rightarrow 6\left( {1 + q + {q^2}} \right) = 19q\)

\[ \Leftrightarrow 6{{\rm{q}}^2} - 13{\rm{q}} + 6 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{q = \frac{2}{3}}\\{q = \frac{3}{2}}\end{array}} \right.\]

•Với \[q = \frac{2}{3} \Rightarrow {u_1} = 9,{u_2} = 6,{u_3} = 4\];

•Với \[q = \frac{3}{2} \Rightarrow {u_1} = 4,{u_2} = 6,{u_3} = 9.\]