Cho 3 số a , b , c thỏa mãn 12 a + 15 b + 20 c = 0 . Chứng minh phương trình a x ^2 + b x + c = 0 luôn có nghiệm thuộc [ 0 ; 4 5 ] .

Xét hàm số \[f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c\].

Hàm số \[f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c\] liên tục trên \[\mathbb{R}\].

Ta có \[f\left( {\frac{4}{5}} \right) = \frac{{16}}{{25}}a + \frac{4}{5}b + c\]nên \[\frac{{75}}{4}f\left( {\frac{4}{5}} \right) = 12a + 15b + \frac{{75}}{4}c\].

\[f\left( 0 \right) = c\]nên \[\frac{5}{4}f\left( 0 \right) = \frac{5}{4}c\].

Do đó \[\frac{{75}}{4}f\left( {\frac{4}{5}} \right) + \frac{5}{4}f\left( 0 \right) = 12a + 15b + 20c = 0\].

Suy ra \[f\left( {\frac{4}{5}} \right)\], \[f\left( 0 \right)\] trái dấu hoặc cả hai đều bằng 0.

Vậy phương trình \[a{x^2} + bx + c = 0\] luôn có nghiệm thuộc \[\left[ {0;\frac{4}{5}} \right]\].