Cho 2 số thực x, y thỏa mãn 2y^3 +7y + 2x căn (1-x) = 3 căn(1-x) + 3(2y^2 + 1)

Điều kiện: \(x \le 1.\)

\({\rm{Ta c\'o  }}2{y^3} + 7y + 2x\sqrt {1 - x}  = 3\sqrt {1 - x}  + 3\left( {2{y^2} + 1} \right)\)

\( \Leftrightarrow 2\left( {{y^3} - 3{y^2} + 3y - 1} \right) + y - 1 = 2\sqrt {1 - x} \left( {1 - x} \right) + \sqrt {1 - x} \)

\( \Leftrightarrow 2{\left( {y - 1} \right)^3} + y - 1 = 2{\left( {\sqrt {1 - x} } \right)^3} + \sqrt {1 - x} \,\,\,(*)\)

Xét hàm số \(f\left( t \right) = 2{t^3} + t\) có \(f'\left( t \right) = 6{t^2} + 1 > 0,\,\,\forall t \in \mathbb{R}\), suy ra \(f\left( t \right)\) đồng biến trên \(\mathbb{R}.\)

Khi đó \((*) \Leftrightarrow f\left( {y - 1} \right) = f\left( {\sqrt {1 - x} } \right) \Leftrightarrow y - 1 = \sqrt {1 - x}  \Leftrightarrow x = 2y - {y^2}\) (điều kiện \(y \ge 1\))

Khi đó \[P = x + 2y =  - {y^2} + 4y = 4 - {\left( {y - 2} \right)^2} \le 4\]

Đẳng thức xảy ra khi \(y = 2,x = 0.\)

Vậy \(\max P = 4\) khi \(\left( {x\,;\,\,y} \right) = \left( {0\,;\,\,2} \right).\)

Đáp án: 4.