Cho 0 < x < 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = x/1-x+4/x

Ta có: P = x1−x+4x=x1−x+4−4x+4xx=x1−x+41−xx+4

Vì 0 < x < 1 nên 1 – x > 0 ⇒ x1−x>0; 41−xx>0

Áp dụng bất đẳng thức Cô–si cho hai số không âm x1−x và  41−xx ta có:

x1−x+41−xx≥2x1−x.41−xx=4

⇔ x1−x+41−xx+4≥8

⇔ P ≥ 8

Dấu “=” xảy ra khi: x1−x=41−xx ⇔ x² = 4(x – 1)²

⇔ x=2x−2x=−2x+2  ⇔ x=2x=23

Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 8 khi x =  23