Chị Hà dự định sử dụng hết 4 m ^2 kính để làm một bể cá bằng kính có dạng hình hộp chữ nhật không nắp, chiều dài gấp đôi chiều rộng

Đáp số: 0,73.

Giả sử bể cá có kích thước như hình vẽ, với \(x,\,h > 0\).

Theo đề bài ta có: \(2{x^2} + 2xh + 4xh = 4 \Leftrightarrow h = \frac{{4 - 2{x^2}}}{{6x}}\).

Do \(x > 0,\,\,h > 0\) nên \(4 - 2{x^2} > 0 \Leftrightarrow 0 < x < \sqrt 2 \).

Thể tích của bể cá là \(V = 2{x^2}h = \frac{{4x - 2{x^3}}}{3} = f\left( x \right)\), với \(x \in \left( {0;\sqrt 2 } \right)\).

Ta có: \(f'\left( x \right) = \frac{4}{3} - 2{x^2}\)

\(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \frac{4}{3} - 2{x^2} = 0 \Leftrightarrow x = \frac{{\sqrt 6 }}{3}\) (vì \(x > 0\))

Bảng biến thiên

Vậy bể cá có dung tích lớn nhất bằng \(\frac{{8\sqrt 6 }}{{27}}\,{{\rm{m}}^3} \approx 0,73\,{{\rm{m}}^3}\).