Cây cà chua khi trồng có chiều cao 5 cm. Tốc độ tăng chiều cao của cây cà chua sau khi trồng cho bởi hàm số:

a) Hàm số h(t) là một nguyên hàm của hàm số \(v({\rm{t}})\).

Ta có: \(\int v (t)dt = \int {\left( { - 0,1{t^3} + {t^2}} \right)} dt =  - 0,1\int {{t^3}} dt + \int {{t^2}} dt =  - 0,025{t^4} + \frac{{{t^3}}}{3} + C\)

Suy ra \(h(t) =  - 0,025{t^4} + \frac{{{t^3}}}{3} + C\).

Vì cây cà chua khi trồng có chiều cao 5 cm nên \({\rm{h}}(0) = 5\), suy ra $-0,025·0^4 + \frac{0^3}{3} + C = 5$ suy ra \({\rm{C}} = 5\).

Vậy công thức xác định hàm số h(t) là: \(h(t) =  - 0,025{t^4} + \frac{{{t^3}}}{3} + 5(t \ge 0)\).

b) Xét hàm số \(h(t) =  - 0,025{t^4} + \frac{{{t^3}}}{3} + 5(t \ge 0)\).

Ta có \(h'(t) = v(t) =  - 0,1{t^3} + {t^2};h'(t) = 0\) khi \(t = 0\) (thỏa mãn) hoặc \({\rm{t}} = 10\) (thỏa mãn).

Bảng biến thiên của hàm số \(h(t)\) trên \([0; + \infty )\) như sau:

Từ bảng biến thiên ta thấy giai đoạn tăng trưởng của cây cà chua đó kéo dài 10 tuần.

c) Từ bảng biến thiên ở câu b, ta thấy chiều cao tối đa của cây cà chua đó là \(\frac{{265}}{3}\) cm .

d) Xét hàm tốc độ tăng chiều cao của cây cà chua: \(v(t) =  - 0,1{t^3} + {t^2}(t \ge 0)\).

Ta có \({v^{\prime }}({\rm{t}}) =  - 0,3{{\rm{t}}^2} + 2{\rm{t}};{\rm{v'}}\) (t) \( = 0\) khi \({\rm{t}} = 0\) (thỏa mãn) hoặc \({\rm{t}} = \frac{{20}}{3}\) (thỏa mãn).

Bảng biến thiên của hàm số \(v(t)\) trên \([0; + \infty )\) như sau:

Từ bảng biến thiên ta suy ra thời điểm cây cà chua đó phát triển nhanh nhất là $t = \frac{20}{3}$. Khi đó chiều cao của cây cà chua là:

$h\left(\frac{20}{3}\right) = -0,025·{\left(\frac{20}{3}\right)}^4 + \frac{{\left({\displaystyle \frac{20}{3}}\right)}^3}{3} + 5 = \frac{4405}{81} \left(cm\right).$