Câu 10: Cho 3 số hạng đầu của một cấp số nhân, biết rằng tổng 3 số hạng đầu là13 đồng thời theo thứ tự đó chúng là số hạng thứ nhất, thứ ba và thứ chín của một cấp số cộng. Công bội của cấp s

Đáp án đúng là C

Gọi 3 số hạng đầu của cấp số nhân là: \({u_1},\,{u_2},\,{u_3}\). Theo đề ra ta có \({u_1} + {u_2} + {u_3} = 13\) \(\left( 1 \right)\)
Gọi cấp số cộng là \(\left( {{v_n}} \right)\)và công sai \(d\) theo đề ra: \({u_1} = {v_1};{u_2} = {v_3};\,{u_3} = {v_9}\)
Khi đó ta có \(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = {v_1}\\{u_2} = {v_3} = {v_1} + 2d\\{u_3} = {v_9} = {v_1} + 8d\end{array} \right.\) \(\left( 2 \right)\) do \({u_1}.{u_3} = u_2^2 \Leftrightarrow {v_1}\left( {{v_1} + 8d} \right) = {\left( {{v_1} + 2d} \right)^2}\) \(\left( 3 \right)\)
Từ phương trình \(\left( 1 \right)\) ta có \({u_1} + {u_2} + {u_3} = 13 \Leftrightarrow 3{v_1} + 10d = 13 \Leftrightarrow {v_1} = \frac{{13 - 10d}}{3}\) \(\left( 4 \right)\)
Thay \(\left( 4 \right)\) vào \(\left( 3 \right)\): \[{v_1}\left( {{v_1} + 8d} \right) = {\left( {{v_1} + 2d} \right)^2} = \frac{{13 - 10d}}{3}.\left( {\frac{{13 - 10d}}{3} + 8d} \right) = {\left( {\frac{{13 - 10d}}{3} + 2d} \right)^2}\]
\[ \Leftrightarrow 130{d^2} - 130d = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}d = 0 \Rightarrow {v_1} = {v_3} = {v_9} = \frac{{13}}{3} \Rightarrow {u_1} = {u_2} = {u_3} \Rightarrow q = 1\\d = 1 \Rightarrow {v_1} = 1;{v_3} = 3,{v_9} = 9 \Rightarrow {u_1} = 1;{u_2} = 3 \Rightarrow q = 3\end{array} \right.\]