Cắt hình trụ (T) bằng một mặt phẳng đi qua trục được thiết diện là một hình chữ nhật

21/150

Cắt hình trụ \[\left( T \right)\] bằng một mặt phẳng đi qua trục được thiết diện là một hình chữ nhật có diện tích bằng \(30\,\;{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}\) và chu vi bằng \(26\;\,{\rm{cm}}.\) Biết chiều dài của hình chữ nhật lớn hơn đường kính mặt đáy của hình trụ \[\left( T \right)\]. Diện tích toàn phần của \[\left( T \right)\] là

\(23\pi \,\,{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}.\)

\(\frac{{23\pi }}{2}\,\,{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}.\)

\(\frac{{69\pi }}{2}\,\,{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}.\)

\(69\pi \,\,{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}.\)

Giải thích

Gọi \[h,\,\,r\] lần lượt là đường cao và bán kính đáy của hình trụ \[\left( T \right)\].

Thiết diện của mặt phẳng và hình trụ \[\left( T \right)\] là hình chữ nhật \[ABCD\].

Khi đó theo giả thiết ta có

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{h > 2r}\\{{S_{ABCD}} = h \cdot 2r = 30}\\{{C_{ABCD}} = 2\left( {h + 2r} \right) = 26}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{h > 2r}\\{hr = 15}\\{h + 2r = 13}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{h > 2r}\\{h = 13 - 2r}\\{ - 2{r^2} + 15r - 15 = 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{h > 2r}\\{r = \frac{3}{2}.}\\{h = 10}\end{array}} \right.} \right.} \right.} \right.\)

Vậy \({S_{TP}} = {S_{XQ}} + 2S = 2\pi rh + 2\pi {r^2} = 2\pi \frac{3}{2}10 + 2\pi {\left( {\frac{3}{2}} \right)^2} = \frac{{69\pi }}{2}\left( {\;{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}} \right).\) Chọn C.