Cạnh hình vuông bị cắt có giá trị bao nhiêu thì thể tích của chiếc hộp là lớn nhất?
11/22
Từ một tấm bìa hình vuông có độ dài cạnh bằng \(60\,\)cm, người ta cắt bốn hình vuông bằng nhau cạnh \(x\) ở bốn góc rồi gập thành một chiếc hộp có dạng hình hộp chữ nhật không có nắp (hình minh họa). Cạnh hình vuông bị cắt có giá trị bao nhiêu thì thể tích của chiếc hộp là lớn nhất?
\(x = 10\)cm.
\(x = 12\)cm.
\(x = 15\)cm.
\(x = 20\)cm.
Gọi \(x\)(cm) là độ dài cạnh của các hình vuông nhỏ được cắt ở bốn góc của tấm bìa. Điều kiện \(0 < x < 30\). Khi cắt bỏ bốn hình vuông nhỏ có cạnh \(x\) (cm) ở bốn góc và gập lên thì ta được một chiếc hộp chữ nhật không có nắp, có đáy là hình vuông với độ dài cạnh bằng \(\left( {60 - 2x} \right)\) (cm) và chiều cao bằng \(x\)(cm). Thể tích của chiếc hộp này là \(V\left( x \right) = {\left( {60 - 2x} \right)^2}.\,x = 4{x^3} - 240{x^2} + 3600x\,\,\,\)(cm3).
Ta có \(V'\left( x \right) = 12{x^2} - 480x + 3600\).
\(V'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = 10\)(thỏa mãn điều kiện) hoặc \(x = 30\)(loại).
Ta có bảng biến thiên:
Vậy để thể tích của chiếc hộp là lớn nhất thì độ dài cạnh của các hình vuông nhỏ phải cắt là \(10\)cm.