Các mệnh đề sau đúng hay sai?

a) \(y' = 4{x^3} - 4mx\,;y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\{x^2} = m\end{array} \right.\) do đó với mọi \(m > 0\), \(y'\, = 0\) có 3 nghiệm bội lẻ \( \Rightarrow \) Hàm số có \(3\) điểm cực trị.

Suy ra mệnh đề đúng.

b) \(y' = 4{x^3} - 4mx\,;y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\{x^2} = m\end{array} \right.\,\,;y'' = 12{x^2} - 4m\)

Ta có:\(\left\{ \begin{array}{l}y'\left( 0 \right) = 0\\y''\left( 0 \right) =  - 4m > 0\,\,\forall m < 0\end{array} \right.\)do đó với \(m < 0\) hàm số đạt cực tiểu tại \(x = 0\).

Vậy mệnh đề sai.

c)  Ta có :

Với \(m = 0\,,\,\,y' = {x^3}\) Hàm số có một điểm cực tiểu.

Với \(m \ne 0\)hàm số có \(3\) điểm cực trị trong đó có hai điểm cực tiểu và một điểm cực đại.

Suy ra mệnh đề đúng.

d) Ta có:    \(y' = 4{x^3} - 4mx = 4x\left( {{x^2} - m} \right)\).

Xét \(y' = 0 \Leftrightarrow 4x\left( {{x^2} - m} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\{x^2} = m\end{array} \right.\).

Đồ thị hàm số đã cho có 3 điểm cực trị khi và chỉ khi \(m > 0\).

Khi đó toạ độ các điểm cực trị là \(A\left( {0;2{m^4} - m} \right),B\left( {\sqrt m ;2{m^4} - {m^2} - m} \right),C\left( { - \sqrt m ;2{m^4} - {m^2} - m} \right)\).

Ta có \(A \in Oy\). Để \(B,C \in Ox\) thì \(2{m^4} - {m^2} - m = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 0\\2{m^3} - m - 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 0\\m = 1\end{array} \right.\).

Do \(m > 0\) nên ta được \(m = 1\).

Vậy mệnh đề sai.