Các mệnh đề sau đúng hay sai? a) Trong không gian với hệ trục toạ độ O x y z , cho các vectơ → a = ( 1 ; 2 ; 1 ) , → b = ( − 2 ; 3 ; 4 ) , → c = ( 0 ; 1 ; 2 ) và → d = ( 4 ; 2 ; 0 ) .

15/22

Các mệnh đề sau đúng hay sai?

a) Trong không gian với hệ trục toạ độ \(Oxyz\), cho các vectơ \(\vec a = \left( {1;2;1} \right)\), \(\vec b = \left( { - 2;3;4} \right)\), \(\vec c = \left( {0;1;2} \right)\) và \(\vec d = \left( {4;2;0} \right)\). Biết rằng \(\vec d = x.\vec a + y.\vec b + z.\vec c\). Giá trị \(x + y + z\) là 1

b) Trong không gian với hệ tọa độ \[Oxyz\], cho tam giác \(ABC\) có \(\overrightarrow {AB} = \left( { - 3\,;\,0\,;\,4} \right)\), \[\overrightarrow {AC} = \left( {5\,;\, - 2\,;\,4} \right)\]. Độ dài đường trung tuyến \(AM\) là\(3\sqrt 2 \)

c) Trong không gian với hệ tọa độ \[Oxyz\], hình chiếu của điểm \(M\left( {1; - 3; - 5} \right)\) trên mặt phẳng \(\left( {Oyz} \right)\) có tọa độ là\(\left( {0; - 3;0} \right)\)

d) Trong không gian, cho hai điểm \[A\left( { - 2\,;\,2\,;\, - 1} \right)\], \[B\left( {0\,;\, - 1\,;\, - 2} \right)\]. Tọa độ điểm \[M\]thuộc mặt phẳng \[\left( {Oxy} \right)\]sao cho ba điểm \[A\,,\,B\,,\,M\]thẳng hàng là\[M\left( { - 4\,;\,5\,;\,0} \right)\]

Nhập câu trả lời ở đây

0/3000 ký tự

Giải thích

a. Cho điểm \(M\left( {{x_M};{y_M};{z_M}} \right)\). Khi đó:

Hình chiếu vuông góc \(H\) của \(M\) trên mặt phẳng \(Oxy\) là \(H\left( {{x_M};{y_M};0} \right)\)

Hình chiếu vuông góc \(H\) của \(M\) trên mặt phẳng \(Oxz\) là \(H\left( {{x_M};0;{z_M}} \right)\) Hình chiếu vuông góc \(H\) của \(M\) trên mặt phẳng \(Oyz\) là \(H\left( {0;{y_M};{z_M}} \right)\)

b. Ta có: \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} = \left( {2\,;\, - 2\,;\,8} \right)\).

Vì \(AM\) là đường trung tuyến của tam giác \(ABC\) nên:

Ta có: \(\overrightarrow {AM} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right) = \left( {1\,;\, - 1\,;\,4} \right)\)\( \Rightarrow AM = \left| {\overrightarrow {AM} } \right| = \sqrt {{1^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {4^2}} = 3\sqrt 2 \).

c. Gọi \[M\left( {a\,;\,b\,;\,0} \right) \in \left( {Oxy} \right)\].

\[\overrightarrow {AM} = \left( {a + 2\,;\,b - 2\,;\,1} \right),{\rm{ }}\overrightarrow {AB} = \left( {2\,;\, - 3\,;\, - 1} \right)\].

Điều kiện cần và đủ để ba điểm \[A\,,\,B\,,\,M\]thẳng hàng hay \[\overrightarrow {AM} ,{\rm{ }}\overrightarrow {AB} \] cùng phương là

\[\frac{{a + 2}}{2} = \frac{{b - 2}}{{ - 3}} = \frac{1}{{ - 1}} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - 4\\b = 5\end{array} \right.\].

Vậy \[M\left( { - 4\,;\,5\,;\,0} \right)\].

d. \(\vec d = x.\vec a + y.\vec b + z.\vec c \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x - 2y = 4}\\{2x + 3y + z = 2}\\{x + 4y + 2z = 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 2}\\{y = - 1}\\{z = 1}\end{array}} \right.\;\).