c) Qua C kẻ đường thẳng song song với AD cắt AM tại I, cắt AB tại K. Chứng minh C là trung điểm của IK.

c) Gọi E là giao điểm của MD và AB.

Xét ∆MCH và ∆MOD, có:

CMH^ chung;

MCMO=MHMD (MC.MD = MH.MO).

Do đó  ΔMCH∽ΔMOD (g.g).

Suy ra MHC^=MDO^ (cặp góc tương ứng)   (5)

Vì vậy tứ giác DCHO nội tiếp đường tròn.

Do đó  DHO^=DCO^(cùng chắn DO⏜)   (6)

Ta có OC = OD = R.

Suy ra ∆OCD cân tại O.

Do đó  OCD^=ODC^ (7)

Từ (5), (6), (7), suy ra DHO^=MHC^ .

Mà  DHO^+DHA^=90° và MHC^+AHC^=90°.

Suy ra DHA^=AHC^

Do đó HA là đường phân giác trong của ∆CDH.

Lại có AH ⊥ HM tại H.

Suy ra HM là đường phân giác ngoài của ∆CDH.

Áp dụng tính chất đường phân giác, ta được   ECED=MCMD=HCHD  (8)

Ta lại có IK // AD (giả thiết).

Áp dụng định lí Thales, ta được CIAD=MCMD và   CKAD=ECED   (9)

Từ (8), (9), suy ra CIAD=CKAD

Do đó CI = CK.

Vậy C là trung điểm của IK.