Bóng thám không như hình bên là một thiết bị được sử dụng phổ biến trong ngành khí tượng để thu thập dữ liệu về các thông số thời tiết như nhiệt độ, độ ẩm, áp suất và hướng gió ở độ cao khác
8/29
Bóng thám không như hình bên là một thiết bị được sử dụng phổ biến trong ngành khí tượng để thu thập dữ liệu về các thông số thời tiết như nhiệt độ, độ ẩm, áp suất và hướng gió ở độ cao khác nhau của bầu khí quyển. Trên quả bóng có gắn thiết bị gọi là Radiosonde có chức năng ghi nhận các dữ liệu thông qua các cảm biến và phát tín hiệu radio để truyền dữ liệu trực tiếp về các đài khí tượng cho các nhà khoa học và nhà khí tượng có thể thu thập và phân tích. Bóng thám không thường được làm từ cao su hoặc các vật liệu nhẹ có khả năng chịu biến dạng. Bóng được bơm khí nhẹ như hydrogen hoặc helium. Giả sử một quả bóng thám không kín có thể tích ban đầu là $20\,\mathrm{m^3}$ chứa hydrogen và có tổng khối lượng (khối lượng quả bóng và thiết bị đo) là $m_b = 6\,\mathrm{kg}$. Tính độ cao của quả bóng cho đến khi bị nổ. Biết rằng khi thể tích quả bóng tăng gấp $27$ lần thể tích ban đầu thì quả bóng bị nổ; áp suất khí quyển giảm theo độ cao với quy luật
\[
p_{k} = p_{0} \cdot e^{-\frac{M_{k}gh}{RT}}.
\]
Áp suất khí quyển ở mặt đất là $p_{0} = 10^{5}\,\mathrm{Pa}$; khối lượng mol của phân tử không khí và \textbf{hydrogen} lần lượt là $29\,\mathrm{g/mol}$ và $2\,\mathrm{g/mol}$; gia tốc trọng trường là $g = 9{,}8\,\mathrm{m/s^2}$; $R = 8{,}31\,\mathrm{J/(mol \cdot K)}$; nhiệt độ ở độ cao mà bóng bị nổ là $T = 218\,\mathrm{K}$. Bỏ qua áp suất phụ do vật liệu làm vỏ bóng gây ra.
$31{,}682\,\mathrm{km}$.
$3{,}168\,\mathrm{km}$.
$316{,}82\,\mathrm{km}$.
$316{,}82\,\mathrm{m}$.
Đáp án đúng là A
Bỏ qua áp suất phụ do vật liệu làm vỏ bóng gây ra, nên áp suất khí bên trong quả bóng và áp suất khí quyển bên ngoài là bằng nhau, $p = p_{0}$. Khi quả bóng bay lên đến độ cao cực đại $h$ (ngay trước khi bị nổ) nó ở trạng thái cân bằng, trọng lực tác dụng lên quả bóng cân bằng với lực đẩy Acsimet, ta có:
\[
m_b \cdot g = D_{k} \cdot g \cdot V_{h} \;\;\Rightarrow\;\; m_b = D_{k} \cdot V_{h} \quad (1)
\]
Với $V_h$ là thể tích quả bóng ở độ cao $h$. $D_k$ là khối lượng riêng của không khí ở độ cao $h$:
\[
p_{k}V_{h} = \frac{m_{k}}{M_{k}} R T \;\;\Rightarrow\;\; D_k = \frac{p_{k}M_{k}}{R T}.
\]
Thay vào (1) ta được:
\[
m_b = \frac{p_{0} e^{-\tfrac{M_{k}gh}{RT}} M_{k}}{R T} \cdot V_h.
\]
Thay số: $p_{0} = 10^{5}\,\mathrm{Pa},\; T = 218\,\mathrm{K},\; M_{k} = 29\,\mathrm{g/mol},\; g = 9{,}8\,\mathrm{m/s^2},\; R = 8{,}31\,\mathrm{J/mol \cdot K}$. Thể tích tại lúc nổ: $V_h = 27 V_0 = 27 \cdot 20 = 540\,\mathrm{m^3}$, $m_b = 6\,\mathrm{kg}$. Suy ra:
\[
h = 31\,682\,\mathrm{m} = 31{,}682\,\mathrm{km}.
\]
Quả bóng bay lên đến độ cao $31{,}682\,\mathrm{km}$ thì bị nổ.