Biết rằng phương trình x^2 - 19x + 7 = 0 có hai nghiệm là x_1 và x_2, không giải phương trình, hãy tính giá trị của biểu thức:

Xét phương trình \({x^2} - 19x + 7 = 0\) có \({\rm{\Delta }} = {19^2} - 4.7 = 333 > 0\)

Þ Phương trình có hai nghiệm phân biệt \({x_1},{x_2}\).

Áp dụng hệ thức Vi-et ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_1} + {x_2} = 19}\\{{x_1}{x_2} = 7}\end{array}} \right.\)

Ta có \({x_1},{x_2}\) là hai nghiệm của phương trình đã cho

\( \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x_1^2 - 19{x_1} + 7 = 0}\\{x_2^2 - 19{x_2} + 7 = 0}\end{array}} \right.\)

Theo đề bài ta có:

\(P = {x_2}{\left( {2x_1^2 - 38{x_1} + {x_1}{x_2} - 3} \right)^2} + {x_1}{\left( {2x_2^2 - 38{x_2} + {x_1}{x_2} - 3} \right)^2} + 120\)

\( = {x_2}{\left[ {2\left( {x_1^2 - 19{x_1} + 7} \right) - 14 + {x_1}{x_2} - 3} \right]^2} + {x_1}{\left[ {2\left( {x_2^2 - 19{x_2} + 7} \right) - 14 + {x_1}{x_2} - 3} \right]^2}\)

\( = {x_2}{\left( {{x_1}{x_2} - 17} \right)^2} + {x_1}{\left( {{x_1}{x_2} - 17} \right)^2}\)

\( = {\left( {{x_1}{x_2} - 17} \right)^2}\left( {{x_1} + {x_2}} \right)\)

\( = {(7 - 17)^2}.19 = 1900\).