Biết rằng nếu vị trí M có vĩ độ và kinh độ tương ứng là anpha độ N, Beta độ E (0 nhỏ hơn anpha nhỏ hơn 90 độ, 0 nhỏ hơn beta nhỏ hơn 90) thì có toạ độ

Ta có

$P\left(\cos {10}^{°}\cos {15}^{°};\cos {10}^{°}\sin {15}^{°};\sin {10}^{°}\right),Q\left(\cos {80}^{°}\cos {70}^{°};\cos {80}^{°}\sin {70}^{°};\sin {80}^{°}\right).$

Suy ra: $\overrightarrow{OP}=\left(\cos {10}^{°}\cos {15}^{°};\cos {10}^{°}\sin {15}^{°};\sin {10}^{°}\right),△\overrightarrow{OQ}=\left(\cos {80}^{°}\cos {70}^{°};\cos {80}^{°}\sin {70}^{°};\sin {80}^{°}\right)\text{. }$

Do đó

$\overrightarrow{OP}\cdot \overrightarrow{OQ}=\cos {10}^{°}\cos {15}^{°}\cos {80}^{°}\cos {70}^{°}+\cos {10}^{°}\sin {15}^{°}\cos {80}^{°}\sin {70}^{°}+\sin {10}^{°}\sin {80}^{°}\approx \mathrm{0,2691.}$

Vi P, Q thuộc mặt đất nên $\left|\overrightarrow{OP}\right|=\left|\overrightarrow{OQ}\right|=1$.

Do đó $\cos \widehat{POQ}=\frac{\overrightarrow{OP}\cdot \overrightarrow{OQ}}{\left|\overrightarrow{OP}\right|\cdot \left|\overrightarrow{OQ}\right|}\approx \mathrm{0,2691}$. Suy ra $\widehat{POQ}\approx {\mathrm{74,3893}}^{°}$.

Mặt khác, đường tròn tâm, đi qua P, Q có bán kính 1 và chu vi là $2\pi \approx \mathrm{6,2832}$, nên cung nhỏ $\stackrel{⏜}{PQ}$ của đường tròn đó có độ dài xấp xỉ bằng $\frac{\mathrm{74,3893}}{360}\cdot \mathrm{6,2832}\approx \mathrm{1,2983}$.

Do 1 đơn vị dài trong không gian Oxyz tương ứng với 6371 km trên thực tế, nên khoảng cách trên mặt đất giữa hai vị trí P, Q xấp xỉ bằng 1,2983 6371 \( = 8271,4693(\;{\rm{km}})\).