Biết rằng lim x → + ∞ ( a x 2 + b x + 1 − x ) = 2 . Giá trị của P = a b là P = 4 P = 2 P = 1 P = − 1

Đáp án đúng là A

Phương pháp giải

Áp dụng các quy tắc tính giới hạn tại vô cực của hàm số. Sử dụng công thức nhân liên hợp.

$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}(\sqrt{a{x}^2+bx+1}-x)=\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{a{x}^2+bx+1-x^2}{\sqrt{a{x}^2+bx+1}+x}=\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{(a-1)x^2+bx+1}{\sqrt{a{x}^2+bx+1}+x}$.

Để giới hạn trên là hữu hạn (bằng 2 ) thì $a-1=0$ hay $a=1$.

Khi đó, giới hạn trở thành

$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{bx+1}{\sqrt{x^2+bx+1}+x}=\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{x(b+\frac{1}{x})}{x\sqrt{1+\frac{b}{x}+\frac{1}{x^2}}+x}=\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{b+\frac{1}{x}}{\sqrt{1+\frac{b}{x}+\frac{1}{x^2}}+1}=\frac{b}{\sqrt{1}+1}=\frac{b}{2}$.

Theo đề bài ta có $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}(\sqrt{a{x}^2+bx+1}-x)=2$ suy ra $\frac{b}{2}=2$ hay $b=4$.

Vậy $P=ab=1.4=4$.