Biết rằng A B = 8 d m , phần được nghệ sĩ tô màu đen có diện tích bằng bao nhiêu centimet vuông (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)?

Chọn hệ trục toạ độ \(Oxy,\) sao cho \(A\left( { - 4; - 4} \right),B\left( { - 4;4} \right),C\left( {4;4} \right),D\left( {4; - 4} \right)\) và \(O\left( {0;0} \right)\).

Phương trình cạnh \(AB:x =  - 4\).

Vì tính đối xứng của hình vuông \(ABCD\) và miền phẳng được giới hạn bởi \(\left( L \right)\) nên ta chỉ cần xét phần tô màu nằm ở góc phần tư thứ hai, phía dưới đường thẳng \(BD:y =  - x\).

Gọi điểm \(M\left( { - 4;m} \right) \in AB\) và \(N\left( {x;y} \right)\), với \( - 4 \le m \le 4; - 4 < x < 0\) và \(0 \le y < 4\).

\( \Rightarrow ON = \sqrt {{x^2} + {y^2}} \) và \(OM = ON + 2 = \sqrt {{x^2} + {y^2}}  + 2\).

Lại có \(\frac{{ON}}{{OM}} = \frac{{\sqrt {{x^2} + {y^2}} }}{{\sqrt {{x^2} + {y^2}}  + 2}} = \frac{{ - x}}{4} \Rightarrow \sqrt {{x^2} + {y^2}}  =  - \frac{{2x}}{{x + 4}}\) .

\( \Rightarrow {y^2} = {\left( { - \frac{{2x}}{{x + 4}}} \right)^2} - {x^2} \Rightarrow y =  \pm \sqrt {\frac{{4{x^2}}}{{{{\left( {x + 4} \right)}^2}}} - {x^2}} \) .

Xét phương trình \(\sqrt {\frac{{4{x^2}}}{{{{\left( {x + 4} \right)}^2}}} - {x^2}}  =  - x\)\( \Rightarrow x =  - 4 + \sqrt 2 \) (vì \( - 4 < x < 0\))

và \(\sqrt {\frac{{4{x^2}}}{{{{\left( {x + 4} \right)}^2}}} - {x^2}}  = 0 \Rightarrow x =  - 2\).

Suy ra diện tích hình phẳng \[{S_1} = \int\limits_{ - 4}^{ - 4 + \sqrt 2 } {\left( { - x} \right){\rm{d}}x + \int\limits_{ - 4 + \sqrt 2 }^{ - 2} {\left( {\sqrt {\frac{{4{x^2}}}{{{{\left( {x + 4} \right)}^2}}} - {x^2}} } \right){\rm{d}}x} } \] \(\left( {{\rm{d}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}} \right)\).

Vậy diện tích phần tô màu được tính theo đơn vị centimet vuông (làm tròn đến hàng đơn vị) là:

\(S = 8 \cdot {S_1} \cdot 100 \approx 4\,384\) \(\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}} \right)\).

Đáp án: \(4384\).