Biết phương trình bậc hai x^2 − 3x + 1 = 0 có hai nghiệm phân biệt x1 và x2, tính giá trị của biểu thức Q = (3x2 − 1) / x1 + 3x1/x2 − x1.

Vì phương trình có nghiệm \({x_1},{x_2}\) nên theo hệ thức Viète ta có \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_1} + {x_2} = 3}\\{{x_1}{x_2} = 1}\end{array}} \right.\).

Biến đổi biểu thức \(Q\):

\(Q = \frac{{3{x_2} - 1}}{{{x_1}}} + \frac{{3{x_1}}}{{{x_2}}} - {x_1} = \frac{{3{x_2}}}{{{x_1}}} - \frac{1}{{{x_1}}} + \frac{{3{x_1}}}{{{x_2}}} - {x_1} = 3\left( {\frac{{{x_2}}}{{{x_1}}} + \frac{{{x_1}}}{{{x_2}}}} \right) - \left( {\frac{{1 + x_1^2}}{{{x_1}}}} \right) = \frac{{3\left( {x_1^2 + x_2^2} \right)}}{{{x_1}{x_2}}} - \frac{{x_1^2 + 1}}{{{x_1}}}.\)

Ta có \(x_1^2 + x_2^2 = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2} = {3^2} - 2 \cdot 1 = 7\).

Vì \({x_1}\) là nghiệm của phương trình nên \(x_1^2 - 3{x_1} + 1 = 0\) suy ra \(x_1^2 + 1 = 3{x_1}\).

Thay vào biểu thức \(Q\) ta được: \(Q = 3 \cdot \frac{7}{1} - \frac{{3{x_1}}}{{{x_1}}} = 21 - 3 = 18\).