Biết phương trình 2022^x - 2022 ^(căn 2x+1) = 1- x^2 + 2(căn 2x+1)

12/150

Biết phương trình \({2022^x} - {2022^{\sqrt {2x + 1} }} = 1 - {x^2} + 2\sqrt {2x + 1} \) có một nghiệm dạng \(x = a + \sqrt b \) (trong đó \[a,\,\,b\] là các số nguyên). Tính \(a + {b^3}\).

Giải thích

Phương trình có sự tương ứng ở số mũ của 2022 là \(x\,;\,\,\sqrt {2x + 1} \).

Vậy ta biến đổi phương trình thành: \({2022^x} - {2022^{\sqrt {2x + 1} }} = 1 - {x^2} + 2\sqrt {2x + 1} \)

\( \Leftrightarrow {2022^x} + {x^2} - 1 = {2022^{\sqrt {2x + 1} }} + 2\sqrt {2x + 1} \)

\( \Leftrightarrow {2022^x} + {x^2} - 1 + 2x = {2022^{\sqrt {2x + 1} }} + 2\sqrt {2x + 1} + 2x\)

\( \Leftrightarrow {2022^x} + {\left( {x + 1} \right)^2} = {2022^{\sqrt {2x + 1} }} + 2\sqrt {2x + 1} + 2x + 2\)

\( \Leftrightarrow {2022^x} + {\left( {x + 1} \right)^2} = {2022^{\sqrt {2x + 1} }} + {\left( {\sqrt {2x + 1} + 1} \right)^2}\)

\( \Leftrightarrow x = \sqrt {2x + 1} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\{x^2} = 2x + 1\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow x = 1 + \sqrt 2 \Rightarrow a + {b^3} = 1 + {2^3} = 9.\) Chọn D.